七年級數學上冊知識點總結第一章
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第一章有理數
一.正數和負數
⒈正數和負數的概念
負數:比0小的數 正數:比0大的數 0既不是正數,也不是負數
注意:①字母a可以表示任意數,當a表示正數時,-a是負數;當a表示負數時,-a是正數;當a表示0時,-a仍是0。(如果出判斷題為:帶正號的數是正數,帶負號的數是負數,這種說法是錯誤的,例如+a,-a就不能做出簡單判斷)
②正數有時也可以在前面加“+”,有時“+”省略不寫。所以省略“+”的正數的符號是正號。
2.具有相反意義的量
若正數表示某種意義的量,則負數可以表示具有與該正數相反意義的量,比如:
零上8℃表示為:+8℃;零下8℃表示為:-8℃
支出與收入;增加與減少;盈利與虧損;北與南;東與西;漲與跌;增長與降低等等是相對相反量,它們計數:
比原先多了的數,增加增長了的數一般記為正數;相反,比原先少了的數,減少降低了的數一般記為負數。
3.0表示的意義
⑴0表示“ 沒有”,如教室里有0個人,就是說教室里沒有人;
⑵0是正數和負數的分界線,0既不是正數,也不是負數。
二.有理數
1.有理數的概念
⑴正整數、0、負整數統稱為整數(0和正整數統稱為自然數)
⑵正分數和負分數統稱為分數
⑶正整數,0,負整數,正分數,負分數都可以寫成分數的形式,這樣的數稱為有理數。
理解:只有能化成分數的數才是有理數。①π是無限不循環(huán)小數,不能寫成分數形式,不是有理數。②有限小數和無限循環(huán)小數都可化成分數,都是有理數。
注意:引入負數以后,奇數和偶數的范圍也擴大了,像-2,-4,-6,-8…也是偶數,-1,-3,-5…也是奇數。
2. (1)凡能寫成形式的數,都是有理數.正整數、0、負整數統稱整數;正分數、負分數統稱分數;整數和分數統稱有理數.注意:0即不是正數,也不是負數;-a不一定是負數,+a也不一定是正數;p不是有理數;
(2)有理數的分類: ①按正、負分類:
②按有理數的意義來分:
總結:①正整數、0統稱為非負整數(也叫自然數)
②負整數、0統稱為非正整數
③正有理數、0統稱為非負有理數
④負有理數、0統稱為非正有理數
(3)注意:有理數中,1、0、-1是三個特殊的數,它們有自己的特性;這三個數把數軸上的數分成四個區(qū)域,這四個區(qū)域的數也有自己的特性;
(4)自然數? 0和正整數;a>0 ? a是正數;a<0 ? a是負數;
a≥0 ? a是正數或0 ? a是非負數;a≤ 0 ? a是負數或0 ? a是非正數.
三.數軸
⒈數軸的概念
規(guī)定了原點,正方向,單位長度的直線叫做數軸。
注意:⑴數軸是一條向兩端無限延伸的直線;⑵原點、正方向、單位長度是數軸的三要素,三者缺一不可;⑶同一數軸上的單位長度要統一;⑷數軸的三要素都是根據實際需要規(guī)定的。
2.數軸上的點與有理數的關系
⑴所有的有理數都可以用數軸上的點來表示,正有理數可用原點右邊的點表示,負有理數可用原點左邊的點表示,0用原點表示。
⑵所有的有理數都可以用數軸上的點表示出來,但數軸上的點不都表示有理數,也就是說,有理數與數軸上的點不是一一對應關系。(如,數軸上的點π不是有理數)
3.利用數軸表示兩數大小
⑴在數軸上數的大小比較,右邊的數總比左邊的數大;
⑵正數都大于0,負數都小于0,正數大于負數;
⑶兩個負數比較,距離原點遠的數比距離原點近的數小。
4.數軸上特殊的最大(小)數
⑴最小的自然數是0,無最大的自然數;
⑵最小的正整數是1,無最大的正整數;
⑶最大的負整數是-1,無最小的負整數
5.a可以表示什么數
⑴a>0表示a是正數;反之,a是正數,則a>0;
⑵a<0表示a是負數;反之,a是負數,則a<0
⑶a=0表示a是0;反之,a是0,,則a=0
6.數軸上點的移動規(guī)律
根據點的移動,向左移動幾個單位長度則減去幾,向右移動幾個單位長度則加上幾,從而得到所需的點的位置。
四.相反數
⒈相反數
只有符號不同的兩個數叫做互為相反數,其中一個是另一個的相反數,0的相反數是0。
注意:⑴相反數是成對出現的;⑵相反數只有符號不同,若一個為正,則另一個為負;
⑶0的相反數是它本身;相反數為本身的數是0。
2.相反數的性質與判定
⑴任何數都有相反數,且只有一個;
⑵0的相反數是0;
⑶互為相反數的兩數和為0,和為0的兩數互為相反數,即a,b互為相反數,則a+b=0
3.相反數的幾何意義
在數軸上與原點距離相等的兩點表示的兩個數,是互為相反數;互為相反數的兩個數,在數軸上的對應點(0除外)在原點兩旁,并且與原點的距離相等。0的相反數對應原點;原點表示0的相反數。
說明:在數軸上,表示互為相反數的兩個點關于原點對稱。
4.相反數的求法
⑴求一個數的相反數,只要在它的前面添上負號“-”即可求得(如:5的相反數是-5);0的相反數還是0;
⑵求多個數的和或差的相反數是,要用括號括起來再添“-”,然后化簡(如;5a+b的相反數是-(5a+b)。化簡得-5a-b);注意: a-b+c的相反數是-a+b-c;a-b的相反數是b-a;a+b的相反數是-a-b;
⑶求前面帶“-”的單個數,也應先用括號括起來再添“-”,然后化簡(如:-5的相反數是-(-5),化簡得5);)相反數的和為0 ? a+b=0 ? a、b互為相反數
5.相反數的表示方法
⑴一般地,數a 的相反數是-a ,其中a是任意有理數,可以是正數、負數或0。
當a>0時,-a<0(正數的相反數是負數)
當a<0時,-a>0(負數的相反數是正數)
當a=0時,-a=0,(0的相反數是0)
6.多重符號的化簡
多重符號的化簡規(guī)律:“+”號的個數不影響化簡的結果,可以直接省略;“-”號的個數決定最后化簡結果;即:“-”的個數是奇數時,結果為負,“-”的個數是偶數時,結果為正。
五.絕對值
⒈絕對值的幾何定義
一般地,數軸上表示數a的點與原點的距離叫做a的絕對值,記作|a|。
2.絕對值的代數定義
⑴一個正數的絕對值是它本身; ⑵一個負數的絕對值是它的相反數; ⑶0的絕對值是0.
可用字母表示為:
①如果a>0,那么|a|=a; ②如果a<0,那么|a|=-a; ③如果a=0,那么|a|=0。
可歸納為①:a≥0,<═> |a|=a (非負數的絕對值等于本身;絕對值等于本身的數是非負數。)
②a≤0,<═> |a|=-a (非正數的絕對值等于其相反數;絕對值等于其相反數的數是非正數。)
3.絕對值的性質
任何一個有理數的絕對值都是非負數,也就是說絕對值具有非負性。所以,a取任何有理數,都有|a|≥0。即 (1)正數的絕對值是其本身,0的絕對值是0,負數的絕對值是它的相反數;注意:絕對值的意義是數軸上表示某數的點離開原點的距離;絕對值是0的數是0.即:a=0 <═> |a|=0;
⑵一個數的絕對值是非負數,絕對值最小的數是0.絕對值可表示為:或 ;即:|a|≥0;絕對值的問題經常分類討論;
⑶任何數的絕對值都不小于原數。即:|a|≥a; ; ;
⑷絕對值是相同正數的數有兩個,它們互為相反數。即:若|x|=a(a>0),則x=±a;
⑸互為相反數的兩數的絕對值相等。即:|-a|=|a|或若a+b=0,則|a|=|b|;|a|是重要的非負數,即|a|≥0;注意:|a|·|b|=|a·b|,
⑹絕對值相等的兩數相等或互為相反數。即:|a|=|b|,則a=b或a=-b;
⑺若幾個數的絕對值的和等于0,則這幾個數就同時為0。即|a|+|b|=0,則a=0且b=0。
(非負數的常用性質:若幾個非負數的和為0,則有且只有這幾個非負數同時為0)
4.有理數大小的比較
⑴利用數軸比較兩個數的大小:數軸上的兩個數相比較,左邊的數總比右邊的數小,或者右邊的數總比左邊的數大
⑵利用絕對值比較兩個負數的大?。簝蓚€負數比較大小,絕對值大的反而小;異號兩數比較大小,正數大于負數。
(3)正數的絕對值越大,這個數越大;
(4)正數永遠比0大,負數永遠比0小;
(5)正數大于一切負數;
(6)大數-小數 > 0,小數-大數 < 0.
5.絕對值的化簡
①當a≥0時, |a|=a ; ②當a≤0時, |a|=-a
6.已知一個數的絕對值,求這個數
一個數a的絕對值就是數軸上表示數a的點到原點的距離,一般地,絕對值為同一個正數的有理數有兩個,它們互為相反數,絕對值為0的數是0,沒有絕對值為負數的數。
六.有理數的加減法.
1.有理數的加法法則
⑴同號兩數相加,取相同的符號,并把絕對值相加;
⑵絕對值不相等的異號兩數相加,取絕對值較大的加數的符號,并用較大的絕對值減去較小的絕對值;
⑶互為相反數的兩數相加,和為零;
⑷一個數與0相加,仍得這個數。
2.有理數加法的運算律
⑴加法交換律:a+b=b+a
⑵加法結合律:(a+b)+c=a+(b+c)
在運用運算律時,一定要根據需要靈活運用,以達到化簡的目的,通常有下列規(guī)律:
①互為相反數的兩個數先相加——“相反數結合法”;
②符號相同的兩個數先相加——“同號結合法”;
③分母相同的數先相加——“同分母結合法”;
④幾個數相加得到整數,先相加——“湊整法”;
⑤整數與整數、小數與小數相加——“同形結合法”。
3.加法性質
一個數加正數后的和比原數大;加負數后的和比原數小;加0后的和等于原數。即:
⑴當b>0時,a+b>a ⑵當b<0時,a+b
4.有理數減法法則
減去一個數,等于加上這個數的相反數。用字母表示為:a-b=a+(-b)。
5.有理數加減法統一成加法的意義
在有理數加減法混合運算中,根據有理數減法法則,可以將減法轉化成加法后,再按照加法法則進行計算。
在和式里,通常把各個加數的括號和它前面的加號省略不寫,寫成省略加號的和的形式。如:
(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.
和式的讀法:①按這個式子表示的意義讀作“負8、負7、負6、正5的和”
②按運算意義讀作“負8減7減6加5”
6.有理數加減混合運算中運用結合律時的一些技巧:
七.有理數的乘除法
1.有理數的乘法法則
法則一:兩數相乘,同號得正,異號得負,并把絕對值相乘;(“同號得正,異號得負”專指“兩數相乘”的情況,如果因數超過兩個,就必須運用法則三)
法則二:任何數同0相乘,都得0;
法則三:幾個不是0的數相乘,負因數的個數是偶數時,積是正數;負因數的個數是奇數時,積是負數;
法則四:幾個數相乘,如果其中有因數為0,則積等于0.
2.倒數
乘積是1的兩個數互為倒數,其中一個數叫做另一個數的倒數,用式子表示為a·=1(a≠0),就是說a和互為倒數,即a是的倒數,是a的倒數。
互為倒數:乘積為1的兩個數互為倒數;注意:0沒有倒數;若 a≠0,那么的倒數是;倒數是本身的數是±1;若ab=1? a、b互為倒數;若ab=-1? a、b互為負倒數.
注意:①0沒有倒數;
②求假分數或真分數的倒數,只要把這個分數的分子、分母點顛倒位置即可;求帶分數的倒數時,先把帶分數化為假分數,再把分子、分母顛倒位置;
③正數的倒數是正數,負數的倒數是負數。(求一個數的倒數,不改變這個數的性質);
④倒數等于它本身的數是1或-1,不包括0。
3.有理數的乘法運算律
⑴乘法交換律:一般地,有理數乘法中,兩個數相乘,交換因數的位置,積相等。即ab=ba
⑵乘法結合律:三個數相乘,先把前兩個數相乘,或者先把后兩個數相乘,積相等。即(ab)c=a(bc).
⑶乘法分配律:一般地,一個數同兩個數的和相乘,等于把這個數分別同這兩個數相乘,在把積相加。即a(b+c)=ab+ac
4.有理數的除法法則
(1)除以一個不等0的數,等于乘以這個數的倒數;注意:零不能做除數,
(2)兩數相除,同號得正,異號得負,并把絕對值相除。0除以任何一個不等于0的數,都得0
5.有理數的乘除混合運算
(1)乘除混合運算往往先將除法化成乘法,然后確定積的符號,最后求出結果。
(2)有理數的加減乘除混合運算,如無括號指出先做什么運算,則按照‘先乘除,后加減’的順序進行。
八.有理數的乘方
1.乘方的概念
求n 個相同因數的積的運算,叫做乘方,乘方的結果叫做冪。在 中,a 叫做底數,n 叫做指數。
(1)a2是重要的非負數,即a2≥0;若a2+|b|=0 ? a=0,b=0;
(2)據規(guī)律 底數的小數點移動一位,平方數的小數點移動二位
2.乘方的性質
(1)負數的奇次冪是負數,負數的偶次冪的正數;注意:當n為正奇數時: (-a)n=-an或(a -b)n=-(b-a)n , 當n為正偶數時: (-a)n =an 或 (a-b)n=(b-a)n .
(2)正數的任何次冪都是正數,0的任何正整數次冪都是0。
九.有理數的混合運算
做有理數的混合運算時,應注意以下運算順序:
1.先乘方,再乘除,最后加減;
2.同級運算,從左到右進行;
3.如有括號,先做括號內的運算,按小括號,中括號,大括號依次進行。
十.科學記數法
把一個大于10的數表示成 的形式(其中, n是正整數),這種記數法是科學記數法
近似數的精確位:一個近似數,四舍五入到那一位,就說這個近似數的精確到那一位.
有效數字:從左邊第一個不為零的數字起,到精確的位數止,所有數字,都叫這個近似數的有效數字.
混合運算法則:先乘方,后乘除,最后加減;注意:怎樣算簡單,怎樣算準確,是數學計算的最重要的原則.
特殊值法:是用符合題目要求的數代入,并驗證題設成立而進行猜想的一種方法,但不能用于證明.
等于本身的數匯總:
相反數等于本身的數:0
倒數等于本身的數:1,-1
絕對值等于本身的數:正數和0
平方等于本身的數:0,1
立方等于本身的數:0,1,-1.
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